Посмотрел запись семинара — и который день нахожусь под впечатлением. Там обсуждали задачи Серёжи — и от них остаётся ощущение, « а как такое можно было придумать?! ».
Вот тут Сергей Дориченко рассказывает про задачу про муравья на параллелепипеде:
https://youtu.be/AWpK7HSI5rA?si=8qQMrE0BXqrqHfLR&t=1628
(На problems.ru : задача 65394)
Очень естественно, что для муравья, сидящего в одной вершине куба, который может ходить только по его поверхности, самая далёкая точка поверхности — противоположная вершина куба. А будет ли это так для любого прямоугольного параллелепипеда?
Удивительным образом,
А именно: возьмём параллелепипед-«спичку» (с квадратным сечением, но очень длинный); собственно, хватит 10x2x2. Тогда муравей может проползти до противоположной вершины, пройдя по двум смежным боковым граням — и это длина диагонали в прямоугольнике 10x4, которая равна корню из 116.
А путь до центра дальней маленькой грани оказывается длиннее! Муравью нужно пройти минимум 10 (проекция пути на соответствующее ребро), чтобы до неё дойти, и ещё минимум 1 по этой грани. А это 11, корень из 121.
(Если брать прямоугольник Ax2x2, где A очень большое, то длина пути до противоположной вершины это A+o(1), а длина пути до центра не меньше A+1.)
И там ещё было много столь же удивительных задач!
>>Click here to continue<<
