Вообще — сферическую теорему Пифагора можно доказать проще. Пусть сфера единичного радиуса (чтобы не таскать везде её радиус R). Тогда для двух точек A и B на сфере расстояние c по сфере между ними совпадает с углом, смотрящим на дугу AB из центра сферы O. А значит, скалярное произведение (в трёхмерном пространстве!) векторов OA и OB равно cos c.
Теперь пусть на сфере нарисован прямоугольный треугольник ABC. Можно повернуть сферу так, чтобы прямой угол C был в северном полюсе — точке (0,0,1) — а касательные к катетам были бы направлены вдоль координатных осей. Тогда координаты точек A и B это (sin a, 0, cos a) и (0, sin b, cos b) соответственно. И поэтому скалярное произведение (OA,OB) равно
(OA,OB) = cos a * cos b,
потому что вклад первых координат нулевой. Но мы уже знаем, что оно же равно cos c. Вот мы и получили
cos c = cos a * cos b.
Ура! Кстати — то же самое рассуждение проходит и в гиперболической геометрии. Только нужно взять модель в однополостном гиперболоиде в R^{2,1}; длина дуги связана со скалярным произведением (в R^{2,1}, чтобы его сохраняли движения!) уже через гиперболический косинус
cosh (c) = ch (c) = (e^c + e^{-c})/2,
и выглядит она как
cosh c = cosh a * cosh b.
А ещё — таким же образом можно вывести сферическую теорему косинусов. Пусть угол при вершине C не прямой, а равен γ. Всё равно принесём вершину C в северный полюс. Тогда координаты вершин A и B по оси Oz равны cos a и cos b соответственно. А проекции OA и OB на плоскость Oxy имеют длины sin a и sin b, с углом γ между ними. Так что скалярное произведение равно
(OA,OB) = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ,
а поскольку оно же равно cos c, то получается искомое утверждение:
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ.
Упражнение — проверить, что на маленьких расстояниях оно вырождается в классическое
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos γ
(на всякий случай:
>>Click here to continue<<