Вообще — сферическую теорему Пифагора можно доказать проще. Пусть сфера единичного радиуса (чтобы не таскать везде её радиус R). Тогда для двух точек A и B на сфере расстояние c по сфере между ними совпадает с углом, смотрящим на дугу AB из центра сферы O. А значит, скалярное произведение (в трёхмерном пространстве!) векторов OA и OB равно cos c.

Теперь пусть на сфере нарисован прямоугольный треугольник ABC. Можно повернуть сферу так, чтобы прямой угол C был в северном полюсе — точке (0,0,1) — а касательные к катетам были бы направлены вдоль координатных осей. Тогда координаты точек A и B это (sin a, 0, cos a) и (0, sin b, cos b) соответственно. И поэтому скалярное произведение (OA,OB) равно

(OA,OB) = cos a * cos b,

потому что вклад первых координат нулевой. Но мы уже знаем, что оно же равно cos c. Вот мы и получили

cos c = cos a * cos b.

Ура! Кстати — то же самое рассуждение проходит и в гиперболической геометрии. Только нужно взять модель в однополостном гиперболоиде в R^{2,1}; длина дуги связана со скалярным произведением (в R^{2,1}, чтобы его сохраняли движения!) уже через гиперболический косинус

cosh (c) = ch (c) = (e^c + e^{-c})/2,

и выглядит она как

cosh c = cosh a * cosh b.

А ещё — таким же образом можно вывести сферическую теорему косинусов. Пусть угол при вершине C не прямой, а равен γ. Всё равно принесём вершину C в северный полюс. Тогда координаты вершин A и B по оси Oz равны cos a и cos b соответственно. А проекции OA и OB на плоскость Oxy имеют длины sin a и sin b, с углом γ между ними. Так что скалярное произведение равно

(OA,OB) = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ,

а поскольку оно же равно cos c, то получается искомое утверждение:

cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ.

Упражнение — проверить, что на маленьких расстояниях оно вырождается в классическое

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos γ

(на всякий случай: cos r= 1 - r^2/2 +… при малых r).

Математические байки

Математические байки

Давайте досчитаем? Мы получили, что для прямоугольного треугольника на сфере s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b), где s(r) это площадь круга радиуса r на сфере. Давайте уберём коэффициент: рассмотрим отношение q(r):= s(r) / (2πR^2), тогда просто …

Вообще — сферическую теорему Пифагора можно доказать проще. Пусть сфера единичного радиуса (чтобы не таскать везде её радиус R). Тогда для двух точек A и B на сфере расстояние c по сфере между ними совпадает с углом, смотрящим на дугу AB из центра сферы O. А значит, скалярное произведение (в трёхмерном пространстве!) векторов OA и OB равно cos c.

Теперь пусть на сфере нарисован прямоугольный треугольник ABC. Можно повернуть сферу так, чтобы прямой угол C был в северном полюсе — точке (0,0,1) — а касательные к катетам были бы направлены вдоль координатных осей. Тогда координаты точек A и B это (sin a, 0, cos a) и (0, sin b, cos b) соответственно. И поэтому скалярное произведение (OA,OB) равно

(OA,OB) = cos a * cos b,

потому что вклад первых координат нулевой. Но мы уже знаем, что оно же равно cos c. Вот мы и получили

cos c = cos a * cos b.

Ура! Кстати — то же самое рассуждение проходит и в гиперболической геометрии. Только нужно взять модель в однополостном гиперболоиде в R^{2,1}; длина дуги связана со скалярным произведением (в R^{2,1}, чтобы его сохраняли движения!) уже через гиперболический косинус

cosh (c) = ch (c) = (e^c + e^{-c})/2,

и выглядит она как

cosh c = cosh a * cosh b.

А ещё — таким же образом можно вывести сферическую теорему косинусов. Пусть угол при вершине C не прямой, а равен γ. Всё равно принесём вершину C в северный полюс. Тогда координаты вершин A и B по оси Oz равны cos a и cos b соответственно. А проекции OA и OB на плоскость Oxy имеют длины sin a и sin b, с углом γ между ними. Так что скалярное произведение равно

(OA,OB) = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ,

а поскольку оно же равно cos c, то получается искомое утверждение:

cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ.

Упражнение — проверить, что на маленьких расстояниях оно вырождается в классическое

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos γ

(на всякий случай: cos r= 1 - r^2/2 +… при малых r).

hottg.com/mathtabletalks/4661

1.8K viewsVictor Kleptsyn, Jan 12 at 14:50