Квадрики в CP³, лемма Соллертинского и необычное доказательство теоремы Брианшона

Часть 1

(Картинка будет лишней; необходимую теорию про коники и проективку скоро сделает Макс, возможно, новичкам будет легче после его поста)

С кониками связано достаточно много теоретических фактов. Но что можно сказать о квадриках в пространстве?

Будем считать, что мы живем в комплексном трехмерном пространстве CP³ (это важно, потом объясню почему) с введёнными на ней однородными координатами [x₀ : x₁ : x₂ : x₃]. Квадрикой называется множество таких точек, что F(x₀, x₁, x₂, x₃) = 0, где F – однородный многочлен степени 2, от 4 переменных с комплексными коэффициентами. Вопрос: какие есть свойства у таких кривых?
Нас будут интересовать невырожденные квадрики. Тут я буду надеяться на ваше интуитивное понятие того, что это такое. Например, сфера является невырожденной квадрикой, конус и пара плоскостей – вырожденные (у конуса есть "особая" точка – вершина).

Ботаем геому

Квадрики в CP³, лемма Соллертинского и необычное доказательство теоремы Брианшона

Часть 1

(Картинка будет лишней; необходимую теорию про коники и проективку скоро сделает Макс, возможно, новичкам будет легче после его поста)

С кониками связано достаточно много теоретических фактов. Но что можно сказать о квадриках в пространстве?

Будем считать, что мы живем в комплексном трехмерном пространстве CP³ (это важно, потом объясню почему) с введёнными на ней однородными координатами [x₀ : x₁ : x₂ : x₃]. Квадрикой называется множество таких точек, что F(x₀, x₁, x₂, x₃) = 0, где F – однородный многочлен степени 2, от 4 переменных с комплексными коэффициентами. Вопрос: какие есть свойства у таких кривых?
Нас будут интересовать невырожденные квадрики. Тут я буду надеяться на ваше интуитивное понятие того, что это такое. Например, сфера является невырожденной квадрикой, конус и пара плоскостей – вырожденные (у конуса есть "особая" точка – вершина).

hottg.com/botgeom/287

872 viewsСтанислав Кузнецов, Feb 27 at 17:20