Прикольная, не очень сложная задача

(!) Пунктирная окружность касается описанной

И ещё более простая задача, полезная как лемма на точку Микеля

Красивая задача

Из вершины треугольника проведены касательные к его окружности Эйлера.
(!) Точки касания и точка пересечения касательной к описанной окружности треугольника (в этой вершине) с противоположной стороной лежат на одной прямой

Точки P и Q изогонально сопряжены в фиолетовом четырёхугольнике.
(!) Пунктирный угол прямой

Поздравляю всех прекрасных девушек и замечательных парней с 8 марта!

Пусть X – произвольная точка на лемнискате Бернулли. А прямая AB – её ось симметрии.
(!) |β - α| = 90⁰

Лемнискатой Бернулли называется ГМТ Х таких, что произведение расстояний от них до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Задача нормально решается алгебраически, но так же имеет и геометрическое решение. Оказывается, при инверсии в центре симметрии лемнискаты Бернулли она переходит в равнобокую гиперболу.

Задача для начинающих aka факт с доклада на кружочке в 179 школе. Рекомендую посмотреть запись доклада целеком, а ещё лучше САМОМУ ПРИЙТИ на какой-нибудь интересующий Вас доклад, узнать что-то новое и почувствовать вайб таких докладов (чаще они даже не по геометрии).

На описанной окружности треугольника ABC выбрана произвольная точка A₁. Точки B₁ и C₁ на той же окружности таковы, что AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁.
(!) Перпендикуляры из A₁ на BC, из B₁ на AC и из C₁ на AB пересекаются в одной точке X на (ABC)
(!) Прямая Симсона точки Х параллельна AA₁

Картинка к анонсу моего доклада по коникам, который пройдёт в среду в 179той школе.

[среда 19 марта, 16:15, ауд. 302]
Векшин Максим,
"Равнобокие гиперболы, изогональное и антигональное сопряжения"

На докладе будет в первую очередь красивая олимпиадная геометрия. Расскажу про то, как устроены равнобокие гиперболы, описанные около треугольника, почему это полезный объект, об их связи с изогональным и антигональным сопряжениями. Также разные свойства этих сопряжений (некоторые даже неочевидные). И в целом планируется рассказать о том, как можно работать с кониками, как понять, что какие-то точки лежат на одной конике, в частности, на одной равнобокой гиперболе.

Также попробуем понять, как определять угол между асимптотами произвольной коники и доказать такое утверждение: "У коник девяти точек двух антигонально сопряженных точек равные углы между асимптотами."

На самом деле я советую всем прийти) должно быть интересно, а еще там будут некоторые сведения, которые далее понадобятся в другом докладе, который будет через неделю - про поризм Понселе (и там я разберу все те задачи про поризм, которые постил). Ну и плюс, в последнее время прямоугольные гиперболы набирают актуальность...

[25 марта (ВТОРНИК), 16:15, ауд. 302]
Станислав Кузнецов,
"Коники, 2-2 соответствия и поризм Понселе"

Поризм Понселе (или Теорема Понселе) является классическим фактом проективной алгебраической геометрии. Эта знаменитая теорема является примером так называемой теоремы о замыкании, когда некоторый процесс построения новых точек в результате проведения тех или иных линий, зацикливается через некоторое количество шагов. У этого факта есть множество разных доказательств, версий и обобщений. Все сильные матшкольники в 10-11 классах обычно знают эту теорему и ноль-два ее доказательства в общем случае (есть классическое геометрическое рассуждение через пучки окружностей, а есть аналитическое доказательство через функцию плотности — и то, и другое есть в статье Протасова "два века теоремы Понселе"), но они обладают теми проколами, что работают лишь в вещественной проективной плоскости, то есть используют средства евклидовой геометрии.

На докладе мы обсудим чисто алгебраический подход к поризму Понселе через так называемые 2-2 соответствия, который не просто докажет ее в общем случае на CP² с кониками, но еще и определенное количество смежных фактов: например, этого, этого и этого. Более того, на проекте будут решены две задачи с проекта ЛКТГ по движению точек, одну из которых не решил ни один из участников, а другую не решили даже жюри - некоторое время (больше полугода) она оставалась нерешенной.

Пререквизиты: желательно понимать, что такое CP², CP¹ и коника. В принципе, больше ничего особо и не надо.

Всех жду)

Синяя точка на биссектрисе произвольная. Зелёная прямая касается зелёной окружности.
(!) Равенство зелёных отрезков

upd. Это даже в каком-то смысле обобщение такой задачи

Вечерняя задача

Утреняя разминка

Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, а центр каждого круга лежит вне остальных кругов?

Очень сложная задача

Могут ли в треугольнике окружность, построенная на одной из сторон как на диаметре и окружность 9 точек касаться?