Ночная разминка с подвохом

ABCD параллелограмм. Точка Н – ортоцентр треугольника ABD, а точка O – центр его описанной окружности. В окружности (AHD) провели хорду XY параллельно стороне AD. Оказалось, что окружность (XYC) касается DC.
(!) В каком отношении хорда XY разбивает отрезок OH?

Задача для тех, кому надоели простые задачи

На сторонах CA и CB остроугольного треугольника АВС отмечены точки X и Y так, что четырёхугольник AXYB вписанный. Окружности (CAB) и (CXY) пересекаются повторно в точке Р. Отрезки АY и ВX пересекаются в точке S. Точки R и Q симметричны S относительно прямых СА и СВ.
(!) Точки Р, Q, R и C коцикличны

Новая разминка по матану

Рассмотрим любой (не обязательно выпуклый) многоугольник с площадью 1.
(!) Существует внутренняя хорда, разделяющая этот многоугольник на две части, площадь каждой из которых не меньше 1/3
(!) Покажите, что 1/3 нельзя заменить на бо‌льшее число

Сверху прикрепил разбор предыдущей разминки:

Очень красивая задача с сегодняшнего доклада Петра Кима про двойственность

Нижние синие точки на сторонах произвольные.
(!) Зелёная прямая касается зелёной окружности

Любить геометрию это хорошо, но русский все равно сдавать, к сожалению, придётся

Рекомендую канал с тестами и шпаргалками, чтобы готовиться к ЕГЭ или ОГЭ в любую минуту и уменьшать количество своих ошибок. Ещё там обсуждают тонкости экзаменов. Так что, канал точно полезный

Задача с BalticWay

Четырехугольник ABCD описан около окружности Г. Отрезок AC пересекает Г в точке E, причем вторая точка пересечения AC с Г лежит между E и C. Пусть F – точка, диаметрально противоположная E в Г. Касательная в точке F к Г пересекает AB, BC, CD, DA в точках Х, Y, Z, T.
(!) XY = ZT

Хочу сделать небольшое объявление

Сейчас начинает свою работу канал Палата вышмата. Я являюсь одним из его админов и создателей. Он посвящен высшей математике, и туда мы будем постить задачи по матану/линалу/топологии и др. Паблик предназначен для студентов и школьников, которые хотят заниматься высшей математикой.
Кому интересно – заходите и наслаждайтесь!

Чтобы пост не был без задач:

Точки P, Q и четырехугольник ABCD таковы, что B, P, Q, C лежат на одной окружности и A, P, Q, D лежат на одной окружности. Точка E на отрезке PQ такова, что ∠PAE = ∠QDE и ∠PBE = ∠QCE.
(!) Точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Добрая разминка

Оказалось, что изогонально сопряжённые точки P и Q лежат на одной окружности с двумя вершинами треугольника.
(!) Оставшаяся вершина равноудалена от точек P и Q

Ночная разминка

Кстати, москвичи, как регион?

Крутая задача

3D аналог окружности Конвея

В тетраэдре ABCD на продолжениях ребер AB, AC, AD за вершину A отметили три точки, находящиеся от A на расстоянии, равном полупериметру противолежащей грани BCD, и то же самое проделали с остальными вершинами B, C, D.
(!) Построенные 12 точек лежат на одной сфере тогда и только тогда, когда существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра ABCD

Няшная задачка

На боковых сторонах треугольника взяли точки X и Y так, что они лежат на одной окружности с двумя вершинами. Пусть точки M, N, K – середины боковых сторон. Прямые XM и YN пересекаются в P. Прямая PK пересекает боковые стороны треугольника в голубых точках.
(!) Зелёная прямая касается зелёной окружности

Не няшная задачка

На серединном перпендикуляре к нижней стороне выбрана точка. Оранжевые окружности касаются зелёных прямых (соединяющих эту точку с вершинами) и боковых сторон треугольника в их серединах.
(!) Точки пересечения внешних касательных к этим окружностям с нижней стороной треугольника лежат на изогоналях относительно верхнего угла треугольника

Теории пост. Прощальный пост.

В планиметрии есть много методов решить задачу: всякие теоремы, трюки, стандартные картинки, какие-то продвинутые техники. А что можно сказать насчет стереометрии? Там запас этого всего добра урезается в десятки раз. Может, всякие аналоги лемм о воробьях, о велосипедистах и т.д. есть, но они очень малоизвестны и далеко не очень полезны. В стереоме чаще требуются рассуждения про доп. построения, анализ картинки, рассматривание каких-то пересечений плоскостей/проекций, сведений к плоской задаче. Есть конечно аналог радикальных осей, например, но это тоже не очень частый метод.

Тем не менее, все-таки один продвинутый трюк есть.

Забавно, что обычные проективные коники и теоремы на них вполне обобщаются в пространство. В пространстве верны аналоги леммы Соллертинского, теоремы Брианшона и понятие поляры относительно квадрики (причем даже определено не только понятие поляры точки, но и поляры прямой).

Определение. Квадрика – поверхность в пространстве, задающаяся уравнением F(x, y, z) = 0, где deg(F) = 2.

Определение. Полярой точки X относительно квадрики K называется плоскость, проходящая через основания всех касательных из X к K.

То, что основания касательных из X к K лежат в одной плоскости неочевидно, но это правда. Ещё заметим, что поляра X относительно K высекает на K конику.

Однако сейчас нас будет интересовать случай, когда квадрика – сфера, а высекаемая коника – окружность.

Сперва поговорим о стереографической проекции.

Определение. Пусть Г – сфера, O – её центр, а p – некоторая плоскость. Прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная p, вторично пересекает Г в точке N (N находится дальше от p, чем вторая точка пересечения). Пусть Х – произвольная точка сферы, а NX пересекает p в точке Y. Стереографической проекцией Г на p будем называть отображение Г -> p при котором X -> Y.

Это отображение – биекция между Г (без точки N) и p. Также заметим, что на самом деле, это просто инверсия с центром N при которой Г переходит в p (инверсия, суженная на Г). Она переводит окружность, не проходящую через N, в окружность, а окружность, проходящую через N, в прямую. Уже сам этот факт является довольно полезным и помогает решать некоторые сложные задачи. Например, это сильно помогает в P5 устной олимпиады по геометрии 2015 года 10-11 класс. (рис. 1)

Но мы пойдем дальше.

Определение. Полярной окружностью точки X относительно сферы Г называется окружность, проходящая через основания касательных из X к Г. Будем обозначать эту окружность p(X).

Получаем биекцию между точками R³ и окружностями на сфере.

Теорема.
1. Прямая AB касается сферы Г <=> p(A), p(B) касаются.
2. Плоскость (ABC) касается Г <=> p(A), p(B), p(C) имеют общую точку.
(рис. 2 и 3)

Мысль. Отображение X -> p(X) позволяет сопоставлять стереометрической задаче конфигурацию окружностей на сфере. Совершая затем стереографическую проекцию, мы получаем плоскую задачу, решив которую, мы решим и исходную трехмерную задачу. Также можно совершать эти действия в обратном порядке, проектируя плоскую задачу на сферу и затем возникающие окружности отображая в точки.

И вот это уже мощный интрумент для решения задач.

Пример. Около сферы Г описана четырёхзвенная ломанная ABCD. (рис. 4)
(!) Четыре точки касания её сторон со сферой лежат в одной плоскости
Доказательство. Мы знаем, что p(A), p(B), p(C), p(D) попарно касаются. Скинем это все стер. проекцией на плоскость. Получим известную простую задачу: четыре окружности на плоскости попарно касаются, тогда точки касания лежат на одной окружности. Проектируя обратно, получаем, что точки касания не просто лежали в одной плоскости - они еще и на одной окружности.

У этой задачи есть другие решения (например, пространственный менелай).

Есть еще более сложные примеры. И вот, собственно, задача Вам.

Скрытая 10.9 Шарыгинки 2024

Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, которая касается сферы Г. Точка A' такова, что тетраэдр BCDA' описан около Г. Аналогично определим B', C', D'. (рис. не требуется)
(!) A', B', C', D' лежат в одной плоскости

(Ухожу в отпуск на x лет)

Наверное, уже по традиции, ночной факт

(!) Направление прямой гаусса изогонально направлению на точку Микеля относительно любого угла четырёхугольника